\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
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\begin{document}
 
\textbf{Exercice :} Soit $G$ un groupe \emph{fini} et $\lambda$ un automorphisme
involutif dont le seul point fixe est le neutre $1_G$. Montrer que
$G$ est abélien.

\textit{Indication :} montrer que tout élément de $G$ s'écrit sous la forme
$\lambda(t)t^{-1}$.

\hspace{12pt}

\textbf{Solution :}

Posons $f(t) = \lambda(t)t^{-1}$ définie sur $G$. Tout d'abord $f$ est
injective. En effet si pour $(t,s) \in G^2$ on a $f(t) = f(s)$, alors
on obtient $\lambda(s^{-1}t) = s^{-1}t \Rightarrow s^{-1}t = 1 \Rightarrow
s = t$ puisque le seul point fixe de $\lambda$ est $1$. Comme $G$ est fini,
$f$ est en fait une permutation de $G$, c'est une surjection ce qui montre
l'indication.

Soit maintenant $x \in G$ quelconque, qu'on écrit sous la forme $x = \lambda(t)t^{-1}$.
On a $\lambda(x) = \lambda^2(t)\lambda(t)^{-1}$ avec la propriété de morphisme, or
$\lambda^2 = \mathrm{id}$ donc $\lambda(x) = t\lambda(t)^{-1} = (\lambda(t)t^{-1})^{-1} = x^{-1}$.
Donc $\lambda$ est l'inversion, ce qui permet d'affirmer que l'inversion est un morphisme.

On a donc pour $(x,y) \in G$ : 
\[ xy = (y^{-1}x^{-1})^{-1} = \lambda(y^{-1}x^{-1})
      = \lambda(y^{-1})\lambda(x^{-1})
      = yx \]
$G$ est donc abélien. \qedsymbol

\hspace{12pt}

Quelques choses qu'on peut remarquer :
\begin{itemize}
\item Sous réserve d'existence, $\lambda$ est unique : c'est l'inversion.
\item Réciproquement si $G$ est abélien l'inversion est toujours un
  automorphisme\ldots mais peut avoir un point fixe autre que $1_G$.
  En fait les points fixes de $G$ à part le neutre sont les éléments
  d'ordre 2, lorsque $G$ est fini il en existe ssi $|G|$ est pair.
  On a donc une caractérisation des groupes abéliens d'ordre impair.
\end{itemize}

\end{document}
