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\usetheme{Warsaw}

\title{Constructibilité à la règle et au compas et extensions de corps}
\author[MPSI1 219 Fermat]{Lycée Pierre de Fermat, MPSI1 219}
\date{Exposé présenté le 15 juin 2012}

\begin{document}

\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}{Plan}
  \tableofcontents
\end{frame}

\section{Constructions à la règle et au compas}

\begin{frame}{Présentation du problème}
  \begin{itemize}
  \item Construire des figures géométriques avec 2 outils : règle non graduée et compas
  \item On peut tracer des droites, des cercles, et\dots c'est tout
  \item Problème qui vient de l'antiquité grecque
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Rapporter des longueurs avec un compas\dots}
  \begin{columns}
    \begin{column}[l]{5cm}
      \includegraphics[scale=0.4]{compass_equivalence.pdf}
    \end{column}
    \begin{column}[l]{4cm}
  Que l'on autorise le compas à reporter des longueurs ou non, ça revient au même.
  La longueur $[BC]$ ci-contre a été reportée en $A$\dots
    \end{column}
  \end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Ce qu'on sait faire depuis longtemps}
  \begin{itemize}
  \item Tracer une parallèle/perpendiculaire à une droite passant par un point, construire un triangle équilatéral, tracer une bissectrice \dots
  \item Exemple : médiatrice (simple) et pentagone (moins simple)
    \begin{columns}
    \begin{column}[l]{4cm}
      \includegraphics[scale=0.4]{mediatrice.pdf}
    \end{column}
    \begin{column}[l]{5cm}
      \includegraphics[scale=0.9]{pentagone.pdf}
    \end{column}
    \end{columns}
  \end{itemize}  
\end{frame}

\begin{frame}{Des problèmes plus difficiles, voire insolubles}

  \begin{itemize}
  \item Construction de l'heptadécagone : découverte en 1796 par Gauss
  \item Les 3 grands problèmes de l'Antiquité
    \begin{columns}
    \begin{column}[l]{4cm}
    \begin{itemize}
    \item Duplication du cube
    \item Quadrature du cercle
    \item Trisection de l'angle
    \end{itemize}
    \end{column}
    \begin{column}[l]{5cm}
      \includegraphics[scale=0.15]{quadrature.png}
    \end{column}
    \end{columns}
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Des problèmes plus difficiles, voire insolubles}
  \begin{itemize}
  \item En fait, ces 3 constructions sont impossibles à la règle et au compas !
  \item Preuve : 1837, théorème de Wantzel
  \item Comment ça marche ? Avec de l'algèbre !
  \end{itemize}
\end{frame}


\section{Un peu d'algèbre sur les nombres constructibles}

\begin{frame}{Nombres constructibles}
  \begin{itemize}
  \item On munit le plan d'un ROND
  \item On s'intéresse aux points constructibles à partir de $(0,0)$ et $(1,0)$
  \item Nombres constructibles
    \begin{itemize}
    \item déf : coordonnées de points constructibles
    \item $x$ constructible $\Leftrightarrow$ $|x|$ longueur d'un segment constructible
    \end{itemize}
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Opérations sur les longueurs par construction géométrique}
  \begin{itemize}
  \item On a 2 segments de longueur $x$ et $y$
  \item On peut construire des segments de longueur :
    \begin{itemize}
    \item $x+y$, $|x-y|$ : évident
    \item $x \times y$ : cf ci-dessous
    \item $x / y$ : je vous laisse chercher\dots
    \end{itemize}        
        \includegraphics[scale=0.2]{produit.pdf}
  \item Les nombres constructibles forment un corps !
  \end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}{Une histoire de racine carrée\dots}
  \begin{itemize}
  \item On peut prendre des racines carrées :\\
    \includegraphics[scale=0.5]{racine.pdf}
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Une histoire de racine carrée\dots}
  \begin{itemize}
  \item Idée : on ne peut pas \og faire mieux \fg que les opérations précédentes
    \begin{itemize}
    \item Droite : équation de degré 1
    \item Cercle : équation de degré 2
    \end{itemize}
  \item Racine carrée : OK; racine cubique : pas OK
  \item Comment formaliser ça ? Avec les extensions de corps.
  \end{itemize}
\end{frame}

\section{Généralités sur les extensions de corps}

\begin{frame}{Extensions de corps : définitions}
  \begin{itemize}
  \item $L$ corps, $K \subset L$ sous-corps : $L$ extension du corps $K$
  \item On s'intéresse aux propriétés de $L$ relativement à $K$
  \item Notation : $L/K$ pour désigner l'extension
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Éléments algébriques de $L$ sur $K$}
  \begin{itemize}
  \item $\alpha \in L$
  \item déf : $\alpha$ algébrique sur $K$ $\Leftrightarrow$ $\exists P \in K[X] \backslash \{0\} \mid P(\alpha) = 0$
      \begin{itemize}
      \item algébrique $\neq$ transcendant
      \end{itemize}
  \item Polynôme minimal : engendre l'idéal des polynômes annulateurs
    \begin{itemize}
    \item $\Pi_\alpha(\alpha) = 0$, $\Pi_\alpha$ irréductible
    \end{itemize}
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Extension de $K$ par un élément}
  \begin{itemize}
  \item Soit $\alpha \in L$, on note $K(\alpha)$ le plus petit sous-corps contenant $K$ et $\alpha$
  \item $K(\alpha) = \{ R(\alpha) \mid R \in K(X)$
  \item $\alpha$ transcendant : $K(\alpha) \simeq K(X)$
  \item $\alpha$ algébrique : $K(\alpha) = K[\alpha]$, $\dim_K K(\alpha) = \deg \Pi_\alpha$
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Extensions finies, degré}
  \begin{itemize}
  \item déf : $L/K$ extension finie $\Leftrightarrow$ $L$ est un $K$-ev de dim finie
  \item degré de $L/K$ : $[L:K] := \dim_K L$
  \item Multiplicativité du degré : pour $K \subset L \subset M$,
    \begin{itemize}
    \item $M/K$ finie $\Leftrightarrow$ $L/K$ finie et $M/L$ finie
    \item $[M:K] = [M:L][L:K]$
    \end{itemize}
  \item Remarque : $\alpha$ algébrique $\Leftrightarrow$ $K(\alpha)/K$ finie et $[K(\alpha):K] = $ degré de $\alpha$.
  \end{itemize}
\end{frame}

\section{Théorème de Wantzel, applications}

\begin{frame}{Construction d'un point, extension quadratique}
  \begin{itemize}
  \item On part de points dans $K^2$ où $\mathbf{Q} \subset K \subset \mathbf{R}$
  \item Pour obtenir un nouveau point, il faut qu'il soit l'intersection
    \begin{enumerate}[$-$ (a)]
    \item de deux droites
    \item d'une droite et d'un cercle
    \item de deux cercles
    \end{enumerate}
  \item Cas (a) : système linéaire, le nouveau point est dans $K^2$
  \item Cas (c) : se réduit au cas 2 en écrivant les équations
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Construction d'un point, extension quadratique}
  \begin{itemize}
  \item On se penche donc sur l'intersection d'un cercle et d'une droite : $\exists a,b,c,d,e,f \in K$ tels que
    \begin{align}
      ax + by + c &= 0 \\
      x^2 + y^2 + dx + ey + f &= 0
    \end{align}
  \item exprimer $y$ en fct de $x$ avec (2) puis substituer dans (1)\dots
\[ \alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0, \quad \alpha, \beta, \gamma \in K \]
\item et $\alpha \neq 0$ : trinôme du 2nd degré
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Construction d'un point, extension quadratique}
  \begin{itemize}
  \item $P(X) = \alpha X^2 + \beta X + \gamma$ ; $P(x) = 0$
  \item si $x \not\in K$, $P$ irréductible $\Rightarrow$ $P = \Pi_x$
  \item $[K(x) : K] = \deg P = 2$ : extension quadratique
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Construction d'une figure, tour d'extensions quadratiques}
  \begin{itemize}
  \item On considère $x$ constructible, et $x_1,\ldots,x_n$ coordonnées des points intermédiaires de la construction
  \item On a $\mathbf{Q} = K_0 \subset K_0(x_1) = K_1 \subset \ldots \subset K_{n-1}(x_n) = K_n$
  \item $\forall i, [K_{i+1} : K_i] = 1$ ou $2$
  \item On extrait $(L_j)$ tels que $L_0 \subsetneq L_0(x'_1) = L_1 \subsetneq \ldots \subsetneq L_{k-1}(x'_k) = L_k$
  \item $\forall j, [L_{j+1} : L_j] = 2$ : tour d'extensions quadratiques
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Théorème de Wantzel}
  \begin{itemize}
  \item Énoncé : un nombre est constructible ssi il appartient à un corps $L$ tel que $L/\mathbf{Q}$ soit décomposable en tour d'extensions quadratiques
  \item pour montrer le sens réciproque, utiliser ``$x$ constructible $\Rightarrow$ $\sqrt{x}$ constructible''
  \item Corollaire : un nombre constructible est algébrique et son degré est une puissance de deux
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Retour sur les 3 grands problèmes de l'Antiquité}
  \begin{itemize}
  \item La duplication du cube
    \begin{itemize}
    \item Dupliquer le cube de côté 1 $\Rightarrow$ construire le nombre $\sqrt[3]{2}$
    \item Or $X^3 - 2$ annulateur irréductible donc minimal
    \item $[\mathbf{Q}(\sqrt[3]{2}) : \mathbf{Q}] = 3$ qui n'est pas une puissance de 2
    \item La duplication du cube à la règle et au compas est impossible
    \end{itemize}
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Retour sur les 3 grands problèmes de l'Antiquité}
  \begin{itemize}
  \item La trisection de l'angle
    \begin{itemize}
    \item On sait construire un angle de $\dfrac{\pi}{3}$ (triangle équilatéral)
    \item Si on pouvait trisecter, $\cos \left( \dfrac{\pi}{9} \right)$ serait constructible
    \item Or le polynôme minimal est $8X^3 - 6X - 1$ !
    \item Même argument que tout à l'heure\dots
    \end{itemize}
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Retour sur les 3 grands problèmes de l'Antiquité}
  \begin{itemize}
  \item La quadrature du cercle
    \begin{itemize}
    \item A partir du cercle de rayon 1, construire $\sqrt{\pi}$
    \item Or $\pi$ transcendant $\Rightarrow$ $\sqrt{\pi}$ transcendant
    \item Tout nombre constructible est algébrique\dots
    \end{itemize}
  \end{itemize}
\end{frame}

\end{document}
