\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
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\begin{document}

\section*{\'Equations différentielles non linéaires : \\
  quelques exercices}

\subsection*{Une équation du 1\ier{} ordre}

Montrer que la solution maximale du problème de Cauchy
\begin{align*}
  y' &= y^2 - x \\
  y(0) &= 0
\end{align*}
est définie au moins sur $\mathbf{R_+}$.

Indication : s'intéresser à la parabole $y^2 = x$.

\subsection*{Un système autonome du 2\ieme{} ordre}

Montrer que la solution maximale de
\begin{align*}
  y''   &= 1 - 3y^2 \\
  y(0)  &= 0 \\
  y'(0) &= 0
\end{align*}
est définie sur $\mathbf{R}$ et périodique.

\newpage

\subsection*{Corrigé 1}

Soit $f$ la solution maximale, elle existe, est unique, et est définie
sur un voisinage $]a,b[$ de 0 (théorème de Cauchy-Lipschitz).

Montrons d'abord que pour tout $x \in [0,b[$, $f(x)^2 \leq x$.
(C'est-à-dire que le graphe de $f$ reste dans le domaine
convexe délimité par la parabole $y^2 = x$).
Comme $f'(0) = f(0)^2 - 0 = 0$, $f(x) = o(x)$ quand $x \to 0$.
Ainsi $\exists \eta \in \mathbf{R}_+^* /
\forall x \in ]-\eta,\eta[, |f(x)| \leq |x|$, donc pour
$0 \leq x < \min(1, \eta)$, on a $|f(x)| \leq x \leq \sqrt{x}$,
ce qui signifie que l'inégalité voulue est bien vérifiée sur un
voisinage à droite de 0.

Pour étendre ce résultat à tout $[0,b[$ supposons par l'absurde que
$\{x \geq 0 | f(x)^2 > x \}$ soit non vide, alors sa borne inférieure $x_0$
existe dans $\mathbf{R}_+$, et on a d'après le résultat précédent $x_0 > 0$.
$x_0$ est adhérent à $\{x \geq 0 | f(x)^2 > x \}$, ainsi qu'à $[0, x_0[$
où $f$ vérifie $f(x)^2 \leq x$, par continuité de $f^2$ et en passant à la
limite sur les inégalités on a $f(x)^2 = x$. Cela entraîne $f'(x_0) = 0$
d'où $(f^2)'(x_0) = 0$ (dérivation des fonctions composées) i.e.
$f(x)^2 = x_0 + o(x-x_0)$. Ceci impliquerait que sur un voisinage à gauche de
$x_0$, $f(x)^2 > x$, on aboutit à une contradiction avec le fait que $x_0$
soit un minorant des $x$ qui vérifient cette inégalité.

Maintenant que nous connaissons les variations de $f$ nous pouvons conclure sur
son domaine de définition. Supposons que $b < +\infty$. $f$ est bornée sur
$[0,b[$ : $\forall x \in [0,b[, |f(x)| \leq \sqrt{x} < \sqrt{b}$.
La dérivée de $f$ est donc aussi bornée (elle s'exprime en fonction de $f$
et de $x$) donc en employant le théorème des accroissements finis et le
critère de Cauchy on montre l'existence d'une limite de $f$ en $b$.
$f$ se prolonge donc par continuité en $b$, c'est aussi le cas pour $f'$
qui est une fonction continue de $f$ et de $x$, donc $f$ admet un prolongement
$\mathcal{C}^1$ en $b$ (théorème du prolongement dérivable).
En recollant $f$ avec une solution de l'équation différentielle 
avec les bonnes conditions initiales en $b$, définie sur un voisinage de $b$,
on construit une solution qui contredit la maximalité de $f$ définie sur $]a,b[$.

Conclusion : $b = +\infty$, autrement dit $f$ est défine sur $\mathbf{R}_+$.
$\square$

Remarque : pour montrer que $f$ admettait une limite en $b$ il suffisait de
constater que $f$ était décroissante pour $x \geq 0$. Cependant la méthode
employée ici est plus générale, elle sert à démontrer la remarque 8.2.2
du Jimmy (une solution maximale de $x' = f(t,x)$ lorsque
$f \in \mathcal{C}^0(\mathbf{R}^2, \mathbf{R})$ n'est pas bornée au voisinage
d'une éventuelle borne finie de l'intervalle maximal de définition).

\newpage

\subsection*{Corrigé 2}

En multipliant l'équation par $y'$ et en intégrant grâce aux conditions initiales
on obtient
\[ \frac{1}{2}y'^2 = y - y^3 = y(1-y^2) \]
Par conséquent toute solution du problème de Cauchy vérifie, en tout point
de son intervalle de définition :
\[ y(1-y^2) \geq 0 \Leftrightarrow y \leq -1 \mbox{ ou } 0 \leq y \leq 1\]
L'image de $y$ étant connexe (fonction continue sur un intervalle i.e. une partie
connexe de $\mathbf{R}$) elle est incluse dans l'une des composantes connexes de
$]-\infty,-1] \cup [0,1]$, comme $y(0) = 0$ on a en fait $0 \leq y \leq 1$.
$y$ étant bornée, $y'$ l'est aussi, donc en reprenant l'argument utilisé pour le
1\ier{} exercice, la solution maximale est définie sur $\mathbf{R}$.

Dans la suite, on note $y$ la solution maximale. En $x=0$, on a :
\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
\begin{itemize}
\item $y(0) = 0$ donc $y$ atteint un minimum ($0 \leq y \leq 1$), d'où $y'(0) = 0$
\item $y''(0) = 1 - 3 \times 0^2 = 1 > 0$
\end{itemize}
Sur un voisinage à droite de 0 on a donc $y' \geq 0$.
L'intégrale première du mouvement établie au début s'écrit alors sur ce voisinage :
\[ y' = \sqrt{2y(1-y^2)} \]
équation du 1\ier{} ordre à variables séparables qui s'intègre en
\[ \int_0^y \frac{du}{\sqrt{2u(1-u)(1+u)}} = x \]
Or, la fonction intégrée ici, à valeurs positives, est dans $L^1(]0,1[)$ puisque
\[ \frac{1}{\sqrt{2u(1-u)(1+u)}} \underset{u \to 0}{\sim} \frac{1}{\sqrt{2u}}
   \mbox{ et } 
   \frac{1}{\sqrt{2u(1-u)(1+u)}} \underset{u \to 1}{\sim} \frac{1}{2\sqrt{1-u}} \]
et que la fonction est continue sur $]0,1[$.
Ainsi, sur le domaine de validité de l'expression établie précédemment,
comme $y \leq 1$, on a
\[ x \leq \int_0^1 \frac{du}{\sqrt{2u(1-u)(1+u)}} < +\infty \]
on ne peut donc pas avoir $y' \geq 0$ sur tout $\mathbf{R}_+$.

Posons alors $x_0 = \inf \{x > 0 | y'(x) < 0\}$, on a $x_0 > 0$ et $y'(x_0) = 0$.
Donc $y(x_0)(1-y(x_0)^2) = 0 \Rightarrow y(x_0) \in \{-1, 0, 1\}$. On sait déjà
que $y = -1$ est impossible. Si $y(x_0) = 0$, alors comme $y$ est croissante sur
$[0,x_0]$ on aurait sur cet intervalle $y=0$, ce qui est incompatible avec
l'équation différentielle $y'' = 1-3y^2$. Forcément, $y(x_0) = 1$.

Remarquons maintenant que $y$ est paire. En effet la fonction $x \mapsto y(-x)$
est solution du problème de Cauchy, par unicité de la solution maximale $y(x) = y(-x)$.

Au point $-x_0$, on a donc les conditions :
\begin{itemize}
\item $y(-x_0) = y(x_0) = 1$
\item $y'(-x_0) = -y'(x_0) = 0$
\end{itemize}
Les conditions initiales sont les mêmes en $x = -x_0$ et $x = x_0$, donc
l'invariance par translation du système autonome et l'unicité de la solution maximale
d'un problème de Cauchy permettent de conclure à la périodicité de $y$, $2x_0$ étant
une période (c'est même la plus petite période).

\end{document}