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\begin{document}

\textbf{\'Enoncé de l'exercice :}

Soit $E$ un espace euclidien. Soient $f : E \to E$ et $\delta \in \mathbf{R}_+$
tels que 
\[ \forall (x,y) \in E^2, |\, \| f(x) - f(y) \| - \|x-y\|\, | \leq \delta \]
On pose, pour $x \in E$, $g_n(x) = \dfrac{f(nx)}{n}$.

Montrer que :
\begin{enumerate}
\item $\exists \phi : \mathbf{N} \to \mathbf{N}$ croissante tq
  $(g_{\phi(n)}(x))_{n \in \mathbf{N}}$ converge pour tout $x \in E$ ;
\item $h : x \mapsto \displaystyle\lim_{n \to \infty} g_{\phi(n)}(x)$ est une isométrie.
\end{enumerate}

\textbf{Solution :}

Je vais d'abord rappeler ce qu'on avait déjà établi :
\[ \lim_{n \to \infty} \| g_n(x) - g_n(y) \| = \| x - y \| \]
(preuve : dans la relation $| \| f(x) - f(y) \| - \|x-y\|\, | \leq \delta$,
substituer $nx$ à $x$ et $ny$ à $y$ puis diviser par $n$ ;
$\dfrac{\delta}{n} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$ ...).
En particulier comme $\displaystyle \lim_{n \to \infty} g_n(0) = 0$ (c'est évident)
on a 
\[ \lim_{n \to \infty} \| g_n(x)\| = \| x \| \]
(on peut rendre ça rigoureux avec les $\epsilon$ et l'inégalité triangulaire...)

Conséquence : pour tout $x \in E$, $(g_n(x))$ est bornée et admet donc une
sous-suite convergente (théorème de Bolzano-Weierstrass). On peut même faire
mieux : pour toute famille finie de vecteurs de $E$, il existe $\phi$ telle que 
$(g_{\phi(n)})$ converge ponctuellement sur cette famille (il suffit de composer 
des extractions successives). $E$ étant euclidien, il existe une BON $(e_1,...,e_d)$
($d = \mathrm{dim} E$) et on sait donc qu'il existe $\phi : \mathbf{N}
\to \mathbf{N}$ croissante telle que pour tout $i \in [1,d]$, $(g_{\phi(n)}(e_i))$
converge.

En fait, le $\phi$ qui marche pour cette BON va marcher pour tout $x \in E$,
(la preuve arrive dans quelques paragraphes !), on va donc se mettre à noter $h$
la fonction $h$ définie dans le 2 pour ce $\phi$ là. Si l'on note $D_h$ le domaine
de définition de $h$ (dont on veut montrer que $D_h = E$) on a, en reprenant 
les égalités précédentes et en appliquant la continuité de la norme,
\[ \forall (x,y) \in D_h^2, \| h(x) - h(y) \| = \| x - y \| \mbox{ et }
   \| h(x)\| = \| x \| \]
En utilisant l'identité de polarisation
\[ \forall (x,y) \in E^2, 
   \langle x,y \rangle = \dfrac{1}{2}\left(\|x\|^2 + \|y\|^2 - \|x-y\|^2\right) \]
on obtient :
\[ \forall (x,y) \in D_h^2, \langle h(x),h(y) \rangle =  \langle x,y \rangle \]
Conséquence immédiate : $(h(e_1),...h(e_n))$ est une BON (on sait déjà à ce stade
que $h(e_1),...,h(e_n)$ sont bien définies).

On considère maintenant $x \in E$ fixé quelconque, et $(g_{\psi(n)}(x))$ une
sous-suite convergente de $(g_{\phi(n)}(x))$ (c'est-à-dire qu'il existe
$\chi : \mathbf{N} \to \mathbf{N} \nearrow$ telle que $\psi = \phi \circ \chi$).
Soit $i \in [1,d]$. En reprenant le raisonnement précédent sur $h$ en remplaçant
$\phi$ par $\psi$, et sachant que $(g_{\psi(n)}(e_i))$, qui est une sous-suite de
la suite convergente $(g_{\phi(n)}(e_i))$, converge vers $\displaystyle 
\lim_{n \to \infty} g_{\phi(n)}(e_i) = h(e_i)$, on a
\[ \left\langle \left(\lim_{n \to \infty} (g_{\psi(n)}(x))\right) , h(e_i)
\right\rangle = \langle x,e_i \rangle \]
Les composantes de $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (g_{\psi(n)}(x))$ sont donc
indépendantes de $\psi$ ce qui signifie que $(g_{\phi(n)}(x))$ admet une seule valeur
d'adhérence. Or cette suite est bornée, donc d'après le corollaire du théorème de
Bolzano-Weierstrass (qui marche aussi bien dans $\mathbf{R}^n$ que dans
$\mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$, même si la démo en sup n'a été faite que pour
ces 2 derniers cas particuliers), $(g_{\phi(n)}(x))$ est convergente. Donc
$x \in D_h$.

Conclusion : $D_h = E$ (inclusion réciproque évidente), ce qui répond à la
question 1.

Mais on a également établi, dans cette preuve, que $h$ laisse invariant le produit
scalaire... C'est donc un automorphisme orthogonal (contrairement à la préservation
de la norme, ici, nul besoin d'hypothèse préalable de linéarité), la question 2
tombe directement.

\end{document}