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\begin{document}

Un exercice sur les séries : trouver une caractérisation des séries $\sum_{n \geq 0} u_n$
convergentes à termes positifs telles que 
\[ u_n \underset{n \to \infty}{\sim} R_n^2 \mbox{ où } R_n = \sum_{k=n+1}^\infty u_k \]

Premièrement, nous pouvons remarquer que cela revient à chercher $R_n$, en effet
on retrouve $u_n$ à partir de $R_n$ : $u_n = R_{n-1} - R_n$.

On peut réécire la relation comme suit : $R_{n-1} - R_n \sim R_n^2$. $R_n$ étant le reste
de $\sum_{n\geq 0} u_n$, $(R_n)$ est une suite à termes positifs décroissante vers 0.
Donc $R_n = o(1)$ ce qui entraîne $R_n^2 = o(R_n)$. Ainsi, $R_{n-1} \sim R_n$, d'où
\[ R_{n-1} - R_n \sim R_n^2 \sim R_{n-1}R_n
   \Rightarrow \frac{R_{n-1} - R_n}{R_{n-1}R_n} \sim 1
   \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{1}{R_n} - \frac{1}{R_{n-1}} = 1 \]
Le théorème de Cesàro donne :
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\left(\frac{1}{R_n} - \frac{1}{R_{0}}\right) = 1
   \Rightarrow \frac{1}{R_n} \sim n \Rightarrow R_n \sim \frac{1}{n} \]

Finalement, comme $u_n \sim R_n^2$, on trouve :
\[ u_n \sim \frac{1}{n^2} \]

Montrons maintenant que cette condition nécessaire est en fait suffisante.

Par comparaison série-intégrale, on a, pour tout $n \geq 2$ :
\[ \frac{1}{n} = \int_{n}^{+\infty} \frac{dx}{x^2}
            \leq \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k^2}
            \leq \int_{n+1}^{+\infty} \frac{dx}{x^2}
               = \frac{1}{n+1} \]
donc la série de terme général $v_n = \frac{1}{n^2}$ vérifie $R_n \sim \dfrac{1}{n}$,
on a bien $v_n \sim R_n^2$.

Si une autre série $\sum_{n \geq 0} u_n$ est équivalente à $v_n = \dfrac{1}{n^2}$
alors en appliquant le théorème de sommation des équivalents pour les séries convergentes
à termes positifs, qui donne l'équivalence des restes, on retrouve le même résultat.
$\qedsymbol$

\end{document}