\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
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\begin{document}

Soient $0 < b \leq a$. Soit $f \in \mathcal{C}^1(\mathbf{R}_+,\mathbf{R}_+)$ décroissante
telle que $t \mapsto t^{2a}f(t) \in L^1(\mathbf{R}_+)$.

\textbf{Question 1 :} Montrer qu'il existe $K \geq 0$ tel que, quelque soit $f$,
\[
\left( \int_0^{+\infty} f(t)t^{a+b} dt \right)^2 \leq K \left( \int_0^{+\infty} f(t)t^{2a} dt \right)
                                                      \left( \int_0^{+\infty} f(t)t^{2b} dt \right)
\]
\textbf{Réponse :} Prendre $K=1$ avec Cauchy-Schwarz.

\textbf{Question 2 :} Montrer que $\forall c \in ]0,a],\, t \mapsto t^{2a}f(t) \in L^1(\mathbf{R}_+)$ et
\[ - \left( \int_0^{+\infty} f'(t)t^{2c+1} dt \right)
      = (2c+1) \left( \int_0^{+\infty} f(t)t^{2c} dt \right) \]
\textbf{Réponse :} Comme $\forall t \geq 0,\, t^{2c+1}f'(t) \leq 0$ par décroissance de $f$ il suffit
de vérifier la convergence de l'intégrale en tendant vers $+\infty$ pour avoir l'intégrabilité. Par
une simple IPP on se ramène à vouloir montrer que
\[ \lim_{t \to +\infty} t^{2c+1}f(t) = 0 \mbox{ \textit{i.e.} }
   f(t) \underset{t \to +\infty}{=} o\left(\frac{1}{t^{2c+1}}\right) \]
   Supposons par l'absurde que ce ne soit pas le cas. Alors il existe $\varepsilon > 0$ et
$(t_n)_{n \in \mathbf{N}}$ tels que $t_n \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} +\infty$
et $\forall n \in \mathbf{N}, f(t_n) \geq \dfrac{\varepsilon}{t_n^{2c+1}}$. Par décroissance,
\[ \forall n \in \mathbf{N}, \forall t \in [t_{n-1},t_n],\, f(t) \geq \dfrac{\varepsilon}{t_n^{2c+1}} \]
On en déduit
\[
\forall n \in \mathbf{N}, \int_0^{t_n} f(t)t^{2c} dt
      \geq \sum_{k=0}^{n-1} \int_{t_k}^{t_{k+1}} t^{2c}\frac{\varepsilon}{t_{k+1}^{2c+1}} dt
      =    \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{2c+1} \left( 1 - \left( \frac{t_k}{t_{k+1}} \right)^{2c+1} \right)
\]
L'intégrabilité de $f(t)t^{2c}$ implique que cette série à termes positifs converge.
Dans ce cas son terme général tend vers $0$ et comme $\ln(x) \underset{x \to 1}{\sim} x-1$,
en utilisant la sommation des équivalents, la série est de même nature que 
\[ \sum \ln \left(\frac{t_k}{t_{k+1}}\right) \rightarrow +\infty \]
(par téléscopage), contradiction.

\textbf{Question 3 :} Montrer que la constante optimale dans la question 1 est
\[ K = \frac{(1+2a)(1+2b)}{(1+a+b)^2} \]
\textbf{Réponse :} Il faut d'abord montrer que cette valeur de $K$ marche, c'est-à-dire
montrer l'inégalité
\[
(1+a+b)^2 \left( \int_0^{+\infty} f(t)t^{a+b} dt \right)^2 \leq
(1+2a) \left( \int_0^{+\infty} f(t)t^{2a} dt \right)
(1+2b) \left( \int_0^{+\infty} f(t)t^{2b} dt \right)
\]
c'est-à-dire, en utilisant la question 2, 
\[
\left( \int_0^{+\infty} (-f'(t))t^{a+b+1} dt \right)^2 \leq
\left( \int_0^{+\infty} (-f'(t))t^{2a+1} dt \right)
\left( \int_0^{+\infty} (-f'(t))t^{2b+1} dt \right)
\]
C'est encore du Cauchy-Schwarz\ldots \\
Remarque : on a prouvé que
\[ x \mapsto (1+x) \left( \int_0^{+\infty} f(t)t^{x} dt \right) \]
est une fonction log-convexe, mais comme elle n'est pas forcément $\mathcal{C}^2$
(problème d'intégrabilité en $0$) essayer de montrer la log-convexité par le calcul
n'est pas judicieux.


Il reste à montrer l'optimalité de la constante. En prenant la fonction
\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{l l}
                    1 & \mbox{ si } 0 \leq x \leq 1 \\
                    0 & \mbox{ si } x > 1
                  \end{array}
          \right.
\]
$f$ est décroissante positive et
\[  \int_0^{+\infty} f(t)t^{x} dt = \frac{1}{1+x} \]
ce qui permet de réaliser le cas d'égalité avec la nouvelle constante $K$. \\
Cependant, $f \not\in \mathcal{C}^1$, mais on peut l'approximer avec une suite de splines
cubiques décroissantes de façon à avoir convergence de l'intégrale. Ainsi on montre que
la constante est optimale même si le cas d'égalité n'est pas forcément atteint.

\end{document}