\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\begin{document}

\subsection*{Exercice}

On définit $(u_n)_{n \in \mathbf{N}}$ comme suit :
\[ u_0 = 0,\, u_1 = 1 \mbox{ et } \forall n \in \mathbf{N}^*, u_{n+1} = 3u_n - u_{n-1} \]
\'Etudier la nature de la série
\[ \sum_{n \geq 0} \frac{1}{n+1} \sin \left( \frac{2 \pi p u_n}{q} \right) \]
où $p,q \in \mathbf{N}^*$.


\subsection*{Proposition de corrigé}

On remarque déjà que $(u_n)$ est une suite à valeurs entières. Ainsi, si $q | p$, tous les termes de la série valent $0$ et on a trivialement convergence. Plaçons-nous donc dans le cas contraire, on peut prendre sans perte de généralité $p \wedge q = 1$.

Montrons tout d'abord que la série ne converge pas absolument. On montre par une récurrence triviale que deux termes consécutifs de la suite sont toujours premiers entre eux. Ainsi, si $q \mid u_n$, alors $q \nmid u_{n+1}$. Ainsi, pour tout $n \in \mathbf{N}$, soit $u_{2n}$, soit $u_{2n+1}$, ne sont pas divisibles par $q$. Alors l'un des deux est plus grand que $\dfrac{m}{2n+1}$ où
\[ m = \min_{\substack{n \in \mathbf{Z} \\ q \nmid n}} \left\lvert \sin \left( \frac{2 \pi p n}{q} \right) \right\rvert \]
Ainsi dans la série des modules on peut regrouper les termes 2 à 2 et les minorer par les termes d'une série divergente. Donc il n'y a pas convergence absolue.

Par contre, la série converge conditionellement. Pour montrer cela intéressons-nous à une somme partielle et sommons par parties :
\[ S_N = \sum_{n=0}^N \frac{1}{n+1} \sin \left( \frac{2 \pi p u_n}{q} \right)
       = \frac{a_N}{N+1} - \sum_{n=0}^{N-1} \frac{a_n}{(n+1)(n+2)} \]
en posant
\[ a_n = \sum_{k=0}^n \sin \left( \frac{2 \pi p u_k}{q} \right) \]

Si on montre que $a_n$ est bornée, alors
\[ \frac{a_N}{N+1} \xrightarrow[N \to \infty]{} 0 \mbox{ et } \frac{a_n}{(n+1)(n+2)} \underset{n \to \infty}{=} O \left( \frac{1}{n^2} \right) \]
ce qui montre la convergence de $(S_n)$, donc de la série de départ. (Attention, ce n'est pas parce que la série qui apparaît dans la transformation d'Abel est absolument convergente que la série de départ l'est.)

On va montrer mieux : en fait, $a_n$ est périodique.

La suite $u_n$ vérifie
\[ \forall n \in \mathbf{N}^*, \left(
  \begin{array}{c}
    u_n \\ u_{n+1}
  \end{array}
\right)
  =
  A \left(
    \begin{array}{c}
      u_{n-1} \\ u_n
    \end{array}
  \right)
\mbox{ où } A = \left[
  \begin{array}{ c c }
    0  & 1 \\
    -1 & 3
  \end{array} \right]
\]
d'où
\[ \forall n \in \mathbf{N}^*, \left(
  \begin{array}{c}
    u_n \\ u_{n+1}
  \end{array}
  \right)
  =
  A^n \left(
    \begin{array}{c}
      0 \\ 1
    \end{array}
  \right)
\]
Ainsi, l'étude de $(u_n)$ modulo $q$ se ramène à l'étude des puissances de $A^n$ dans $\mathbf{Z}/q\mathbf{Z}$.

$A \in \mathcal{M}_2(\mathbf{Z})$ et $\det A = 1$ donc $A \in \mathrm{SL}_2(\mathbf{Z})$. Soit $\bar{A}$ la projection canonique de $A$ dans $\mathcal{M}_2(\mathbf{Z}/q\mathbf{Z})$, c'est un élément de $\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z}/q\mathbf{Z})$. Dans ce groupe fini, $\bar{A}$ a un ordre fini $\omega$. Donc $u_n$ est $\omega$-périodique modulo $q$.

De plus, $u_n$ se prolonge naturellement en une suite indicée par $\mathbf{Z}$ vérifiant la même relation de récurrence. On montre que $u_{-1} = -1$ puis que la suite $u$ est impaire.

Comme la fonction $x \mapsto \sin \left( \dfrac{2 \pi p x}{q} \right)$ est impaire et $q$-périodique i.e. ne dépend que de la classe de $x$ dans $\mathbf{R}/q\mathbf{Z}$, la suite $\left( \sin \left( \dfrac{2 \pi p u_k}{q} \right) \right)_{k \in \mathbf{N}}$ est $\omega$-périodique et en sommant sur 2 périodes entre $-\omega$ et $\omega-1$, on trouve qu'elle est de moyenne nulle. Donc $(a_n)$ est $\omega$-périodique bornée. Ce qui prouve le résultat.

\end{document}
